Điều khiển tối ưu giải quyết bài toán tìm kiếm một quy luật điều khiển cho một hệ thống cho trước như là một tiêu chuẩn tối ưu định đã đạt được. Một bài toán điều khiển bao gồm một hàm chi phí đó là một hàm của trạng thái và các biến điều khiển. Một điều khiển tối ưu là một tập hợp các phương trình vi phân mô tả đường đi của các biến điều khiển cực tiểu hóa hàm chi phí. Điều khiển tối ưu có thể được bắt nguồn từ việc sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin (một điều kiện cần còn được biết đến đó là nguyên lý cực tiểu Pontryagin hoặc chỉ đơn giản là nguyên lý Pontryagin[2]), hoặc bằng cách giải phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman (điều kiện đủ).

Chúng ta bắt đầu với một ví dụ đơn giản. Hãy xem xét một chiếc xe đi trên một đường thẳng qua một con đường nhấp nhô. Câu hỏi đặt ra là, người lái xe phải đạp ga như thế nào để tối thiểu hóa tổng thời gian đi lại? Rõ ràng trong ví dụ này, thuật ngữ luật điều khiển chỉ để xác định cách thức trong đó người lái xe tăng ga và chuyển hộp số. Hệ thống bao gồm cả xe và đường, và tiêu chuẩn tối ưu là tối thiểu hóa tổng thời gian đi lại. Các bài toán điều khiển thường bao gồm các ràng buộc bổ sung. Ví dụ, lượng nhiên liệu sẵn có thể bị giới hạn, bàn đạp ga không thể bị đạp xuyên qua sàn xe hơi, tốc độ bị giới hạn,...

Một hàm chi phí thích hợp là một công thức toán học đưa ra thời gian đi lại như một hàm của tốc độ, các xem xét hình học, và các điều kiện ban đầu của hệ thống. Ta thường gặp trường hợp các hạn chế là có thể hoán đổi cho nhau được với hàm chi phí.

Một bài toán khiển tối ưu khác là phải tìm ra cách để lái xe để giảm thiểu mức tiêu thụ nhiên liệu của nó, cho rằng nó phải hoàn thành một khóa học được đưa ra không quá một thời gian xác định. Tuy nhiên, một bài toán điều khiển khác là để giảm thiểu tổng số tiều phải chi để hoàn thành chuyến đi, giá tiền giả định đưa ra cho thời gian và nhiên liệu.

Một khung trừu tượng hơn diễn ra như sau. Tối thiểu hóa hàm chi phí thời gian liên tục

J = Φ [ x ( t 0 ) , t 0 , x ( t f ) , t f ] + ∫ t 0 t f L [ x ( t ) , u ( t ) , t ] d ⁡ t {\displaystyle J=\Phi \,[\,{\textbf {x}}(t_{0}),t_{0},{\textbf {x}}(t_{f}),t_{f}\,]+\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,[\,{\textbf {x}}(t),{\textbf {u}}(t),t\,]\,\operatorname {d} t}

tùy theo các giới hạn động học bậc một (phương trình trạng thái)

x ˙ ( t ) = a [ x ( t ) , u ( t ) , t ] , {\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\textbf {a}}\,[\,{\textbf {x}}(t),{\textbf {u}}(t),t\,],}

các giới hạn đường đại số

b [ x ( t ) , u ( t ) , t ] ≤ 0 , {\displaystyle {\textbf {b}}\,[\,{\textbf {x}}(t),{\textbf {u}}(t),t\,]\leq {\textbf {0}},}

và các điều kiện biên

ϕ [ x ( t 0 ) , t 0 , x ( t f ) , t f ] = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\,[\,{\textbf {x}}(t_{0}),t_{0},{\textbf {x}}(t_{f}),t_{f}\,]=0}

trong đó  x ( t ) {\displaystyle {\textbf {x}}(t)}  là trạng thái, u ( t ) {\displaystyle {\textbf {u}}(t)}  là điều khiển, t {\displaystyle t}  là biến độc lập (thường được nói là thời gian), t 0 {\displaystyle t_{0}}  là thời gian ban đầu, và  t f {\displaystyle t_{f}}  là thời gian cuối. Thuật ngữ  Φ {\displaystyle \Phi }  và  L {\displaystyle {\mathcal {L}}}  được gọi tương ứng là chi phí điểm cuối và Lagrangian.Hơn nữa, cần lưu ý rằng những đường hạn chế là nằm trong các hạn chế bất phương trình nói chung và do đó có thể không hoạt động (tức là, bằng không) ở giải pháp tối ưu.Cũng cần lưu ý rằng các bài toán điều khiển tối ưu như đã nêu ở trên có thể có nhiều lời giải (tức là, lời giải có thể không phải là duy nhất).Do đó, trường hợp thường xuyên nhất mà bất kỳ lời nào  [ x ∗ ( t ∗ ) , u ∗ ( t ∗ ) , t ∗ ] {\displaystyle [{\textbf {x}}^{*}(t^{*}),{\textbf {u}}^{*}(t^{*}),t^{*}]}  đối với bài toán điều khiển tối ưu là tối thiểu hóa cục bộ.